Exercices
- Submitted by: amandab
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- Category: English
- Date Submitted: 01/29/2010 01:37 AM
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Année Scolaire 2008–2009
Lycée Guez De Balzac
MATHÉMATIQUES MPSI DS N˚2 Samedi 11/10/2008 (4h)
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés .
La calculatrice et les formulaires sont interdits.
1
Problème 1
Partie I Soit α un nombre réel. Résoudre sur R l’équation différentielle : y − 2αy + y = t e αt Partie II On considère l’équation différentielle : x 2 y + |x|y = x 3 Q1) Résoudre cette équation sur ]0; +∞[. Q2) Résoudre cette équation sur ] − ∞; 0[. Q3) Déterminer les solutions sur R.
Problème 2 − − Soit R = (O, →, →) un repère orthonormé direct du plan, et C le cercle trigonométrique. u v Partie I Soient U, V, W et S quatre points distincts deux à deux de C et d’affixes respectives u, v, w, s. Q1) Montrer que : − → −→ − − −→ − → − − (OU , OV ) = (OS , OW ) (mod 2π) ⇐⇒ v s = uw
Vérifier que ceci est encore vrai lorsque V = S. − → −→ − − −− − −→ − → −→ − → − − Q2) a) Démontrer que (OU , OV ) = 2(WU , SV ) + (OS , OW ) (mod 2π). b) En déduire que les deux cordes (SV) et (UW) sont parallèles si et seulement si v s = uw. Q3) Le diamètre parallèle à (SV) coupe le cercle C en deux points d’affixes z 0 et −z 0 . Montrer que
2 −z 0 = sv.
Q4) Montrer que les deux cordes (SV) et (UW) sont perpendiculaires si et seulement si v s = −uw. Partie II Dans la suite du problème, on considère A, B, C trois points distincts de C d’affixes respectives a, b et c. On note M, N, T les pieds des hauteurs de ABC issues respectivement des A, B, C.
2
1 . C . → − .v T . B . M . O .. N .
. A
→ − . u
1 .
C .
Q1) Soit E d’affixe b + c. Faire une figure, placer E et construire H tel que AHEO soit un parallèlogramme. Quelle est l’affixe h de de H ? Q2) Montrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires. En déduire que H est l’orthocentre du triangle ABC. −→ − −→ −...
Lycée Guez De Balzac
MATHÉMATIQUES MPSI DS N˚2 Samedi 11/10/2008 (4h)
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés .
La calculatrice et les formulaires sont interdits.
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Problème 1
Partie I Soit α un nombre réel. Résoudre sur R l’équation différentielle : y − 2αy + y = t e αt Partie II On considère l’équation différentielle : x 2 y + |x|y = x 3 Q1) Résoudre cette équation sur ]0; +∞[. Q2) Résoudre cette équation sur ] − ∞; 0[. Q3) Déterminer les solutions sur R.
Problème 2 − − Soit R = (O, →, →) un repère orthonormé direct du plan, et C le cercle trigonométrique. u v Partie I Soient U, V, W et S quatre points distincts deux à deux de C et d’affixes respectives u, v, w, s. Q1) Montrer que : − → −→ − − −→ − → − − (OU , OV ) = (OS , OW ) (mod 2π) ⇐⇒ v s = uw
Vérifier que ceci est encore vrai lorsque V = S. − → −→ − − −− − −→ − → −→ − → − − Q2) a) Démontrer que (OU , OV ) = 2(WU , SV ) + (OS , OW ) (mod 2π). b) En déduire que les deux cordes (SV) et (UW) sont parallèles si et seulement si v s = uw. Q3) Le diamètre parallèle à (SV) coupe le cercle C en deux points d’affixes z 0 et −z 0 . Montrer que
2 −z 0 = sv.
Q4) Montrer que les deux cordes (SV) et (UW) sont perpendiculaires si et seulement si v s = −uw. Partie II Dans la suite du problème, on considère A, B, C trois points distincts de C d’affixes respectives a, b et c. On note M, N, T les pieds des hauteurs de ABC issues respectivement des A, B, C.
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1 . C . → − .v T . B . M . O .. N .
. A
→ − . u
1 .
C .
Q1) Soit E d’affixe b + c. Faire une figure, placer E et construire H tel que AHEO soit un parallèlogramme. Quelle est l’affixe h de de H ? Q2) Montrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires. En déduire que H est l’orthocentre du triangle ABC. −→ − −→ −...